一、课前预设：为数学课堂生成智慧奠基
1 认真研读《课程标准》,确立“智慧教育”理念
面向21世纪的我国数学教育,具有时代的特征。新的高中数学课程,体现课程的时代性、基础性、选择性,对高中数学课程以明确的定位,并前瞻性地规划未来高中数学课程的发展图景。在《高中数学课程标准》中,列举了10项基本的理念,作为数学课程设计的基本指导思想。在《初中数学课程标准》中,也推崇“数学应面向全体学生,实现‘人人学有价值的数学’,‘人人都能获得必需的数学’,不同的人在数学上得到不同程度的发展的‘大众化数学’的理念”,这些理念都是以达成一定的数学素养,促进学生的智慧发展,提高学生的综合素质为目标,是一种生成智慧的教育。当下我们的数学教师应认真研读《高（初）中数学课程标准》,实现三个转变:①转变教师角色观,从当“教书匠”,走向做智慧型的教师;②转变学生观,从塑造“知识人”,走向培养“智慧人”;③改变教学方式和学习方式,从 “知识课堂”,走向 “智慧课堂”。确立“让智慧引领教育,让智慧伴随教育；让教育充满智慧,让教育生成智慧”的智慧教育基本理念,掌握高效的教学策略,引导学生高效学习。
2、深入钻研教材,准确把握智慧
首先，抓住联系理清脉络,用智慧读出教材中蕴涵的智慧。研读文本,应是开展教学设计的第一步和基础工作。教师要用智慧读出教材中蕴涵的智慧。教师不仅要对教材和教参作深入细致的研读,而且需要自觉地广泛涉猎有关的知识,像海绵吸水一样吸取有用的信息,增加一些可以称为“背景”的东西,并把这些东西进行内化,变成对教学有用的东西,这样,文本在学生眼前就不再是孤立出现的一株植物,而是有着深蓝色天空作映衬的一幅图画。正如苏霍姆林斯基所说：“只有当教师的知识视野比学校教学大纲宽广得无可比拟的时候,教师才能成为教育过程的真正的能手、艺术家和诗人”。
其次，合理重组优化教材,用智慧设计高效学习内容序列。教材虽是最主要的课程资源,但教师在对教材进行能动地乃至个性化解读前提下,要大胆去改组教材,拓展教材,超越教材,从而加大探索力度,提高思维难度,增加教学密度,提升教学效度,使教学资源更加优化,更好地为学生学会知识生成智慧服务。常见的改组方式有课时内的重组、模块内的重组、模块间的整合等。
再次，在使用教材上,要求教师不仅要用好、用实,而且要针对地域、民族文化、学生背景的差异用活、用新,实现教材的再次创造于二次开发。要能开发教材,教师必须扩大自己的知识领域。教师知道得越多,懂得越透,就越能居高临下,抓住要领,把课讲得精粹、透彻,这就是人们常说的“只有智慧的教师才能创造出智慧的课堂、培养出有智慧的学生,也才能使课堂焕发生机和活力。”
3、摸准学生个性,催生学生智慧
首先，把握“最近发展区”,找准真实的教学起点。
学生总是存在差异的,这就需要我们教师在备课前用智慧与理性去勤读、细读这些学生——值致读懂每一位学生的个性。每节课不管学生是否在课前进行了预习,学生对本节课要学的内容总是有所了解的,这里,学生对教材的了解程度就是教育学上所说的学生学习的“认知前提”。
如何科学地了解和把握学生的认知前提？我们觉得要注意以下四个方面的问题：①学生已经知道了什么？②学生自己已经解决了什么？学生还想知道什么？③想知道的这些问题学生能否通过互相帮助来解决？④哪些问题需要教师的点拔和引导？以上四个问题搞清楚了,也就明确了本节课教学的真正起点和主攻目标。
其次，容忍接纳学生差异,积极利用学生差异。
学生差异作为一种教育资源具有丰富的教育教学价值,主体间动态因素的多向性差异互动、共生共长是生成智慧的重要途径。教师应具有宽容大度、善解人意、激励奋进的职业情感和人格魅力,具有一个海纳百川的开放心理和心态。要容忍班级内存在一定的差异,接纳并积极地利用这些差异,促进“学习共同体”中学生之间的相互助长,形成良好的班集体氛围,异质要素之间相互碰撞与交融的结果是产生集体智慧的明丽火花。教师应树立学生差异也是教学资源的观点,并不断开发和利用,从而高效生成学生智慧,促进每个学生最大限度的发展。
二、情境引入：为数学课堂生成智慧激需
1、运用实例、故事引入,在喜闻乐见、引人入胜中唤醒智慧
数学来源于实际生活,又在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。新教材一个明显特点就是每章都出现了不少与本章内容有关的实例,因此,在教学中要注重教学内容的现实性和应用性,要对教材进行必要的调整和加工,选择与学生现实生活中密切相关的情境和问题,选用学生喜闻乐见的材料,把生活中的鲜活题材引入课堂教学,赋予现行教材内容以新的活力,让学生感受到数学就在我们周围,燃起学生学习热情。
数学故事、数学典故有时反映了知识形成过程,有时反映了知识点的本质。新教材在对数学内容的学习过程中,介绍了有关的数学背景知识、史料,数学家介绍、背景材料等,不仅能加深学生对知识的理解,还提高了学生对数学的兴趣及数学审美能力。
2。运用旧知、悬疑引入,在温故知新、推波助澜中唤醒智慧
学生认识事物的过程是一个循序渐进的过程,教师可以从学生已有的认知结构出发,创设恰当情境,再通过学生的观察、思考、推测等一系列思维活动,在旧的认知结构上去发现新知识,从而建立新知识,让学生体验知识发生、形成和发展的过程,可谓水到渠成。
心理学认为,意向是在一定恰当的问题情境中产生的。设置悬念可能引发学生的求知动机,产生一种非学不可的迫切心情,形成认知“冲突”,使学生体会到“山穷水路疑无路,柳暗花明又一村”的欢乐,激发他们强烈的学习热情。如在《解三角形》的教学中,可提出了这样一个问题：在河的对岸有一棵树,你不过河,能不能测出对岸那棵树的高度？这样很容易激发学生的好奇心和学习意向。
3。运用归纳、类比引入,在合情合理、水到渠成中唤醒智慧
归纳是通过对个别的、特殊的情况加以观察、分析,从而得出一个一般性结论的方法,是一个从特殊到一般的推理方法。德国教育家第斯多惠说：“不好的教师是奉送真理,好的老师是叫学生去发现真理”。这就要求老师要善于运用“归纳”方法。教学时运用“归纳”引入,可收到事倍功半的之效。
波利亚认为“类比就是一种相似”,类比是一种从特殊到特殊的推理过程。根据学生已有知识,紧扣新课与旧知识的联系,适时引入新课,将会使学生感到自然亲切。如在《双曲线》教学中,其定义、方程、图象、性质,可以由《椭圆》中的有关内容类比引入,由此及彼,融汇贯通,水成渠成,取得事半功倍之效。
4、运用课件、游戏引入,在情景交融、妙趣横生中唤醒智慧
电化教学手段直观形象,生动活泼,具有较强演示力与感染力,能把平淡文字表述演化为生动直观的形象,把抽象知识演化为动态的发生过程,使学生产生浓厚的学习兴趣,可值得运用。
新课程注重学生的学,强调学生学习的过程与方法,在教学中可以根据所学内容,结合学生的心理特征,有意识做些游戏,调节学生的学习情绪,使学生乐学,学得轻松。在讲解“数学归纳法”时,可在课堂上通过实验“多米诺”骨牌游戏,使学生很快理解掌握了数学归纳法的定义与本质。在立体几何起始可通过让学生利用六根火柴摆四个三角形,引出空间问题；通过“切西瓜”的实验,体验平面分割空间的奇妙……这样学生整堂课都怀着极大的兴趣投入了学习。
三、问题探究：为数学课堂生成智慧破题
1、在观察与实验的探究中主动实践智慧
数学中的好多知识要通过学生动手实验直观获得,如立体几何知识、解析几何中的曲线图形等知识,要靠实验、归纳发现,证明只是补充的手段,通过学生的动手操作,亲身实践,自主探索,一个抽象的数学定理、数学结论、数学图形就直观地展示在学生的面前,而不至于让学生感到数学知识是抽象的,只能靠教师传授而获得。如《椭圆》教学中,在提出问题后,教师可以给学生充分的时间,对照问题进行实验操作,交流实验的结果,形成数学新知,同时相互指正,归纳正确内容。通过学生的探讨,教师的评价激励,最终由学生总结：设绳长为
越大时,椭圆愈扁。学生在实践探究中,抽象出椭圆的定义,对椭圆的性质也有所了解。
2、在联想与类比的探究中主动实践智慧
数学的思想方法(如数形结合的思想、函数方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想等)贯穿于整个数学学习过程中,学会了对一个知识块的研究,可以用类比的方法去研究新知识、新问题,实质上就是我们平时所说的举一反三,触类旁通。如果学生能这样做,学生的学习负担将大大减轻,可以将学生从题海中解放出来,有更多的时间去探究新的问题,同时可以调动学生的学习积极性和提高学生的学习质量。如研究了椭圆的性质后,可以用同样的方法去研究双曲线的性质。如在椭圆中涉及到弦中点的问题,可以用“点差法”得到关于弦中点坐标和弦所在直线的斜率的关系式,在双曲线、抛物线、圆中遇到这样的问题,也可以用同样的方法去解决。
3、在一般化与特殊化的探究中主动实践智慧
在许多数学问题中,由于抽象、概括程度较高,直接发现或改正这些性质往往感到困难,这时,可以先试探它的特殊、局部情况的特性,从中发现规律和解答的方法,这就是特殊化思想方法。例如,对变量总是我们从特殊最佳入手探索,对多变量的问题,可先考虑单个或少数变量的情况；对含参量的问题,可先给参量赋值,探讨不含参量的普通问题；对一般的图形问题,可先考虑特殊图形或图形特殊位置的问题等等。这样先把问题简化,从中发现规律后,再去解决一般性的问题。
把题设问题联想、抽象、概括、归纳、类比后,然后从一般原理出发,又回到解决题设问题上来,先解决一般性问题,原题设问题便容易得以解决,从而可以大大简化解题过程,这就是一般化的思想方法。
一般化方法与特殊化方法是相辅相承的两种方法,是数学基本方法。学生掌握上述方法不仅能提高学生数学能力,而且能开拓学生思维,增长学生智慧。
4、在对话与交流的探究中主动实践智慧
数学教学是一种对话、一种沟通,是合作与共建。课堂教学中教师分析得再透彻也代替不了学生的思考,只有通过学生参与对话和交流,才能在不知不觉中培养合作探究精神。每个同学在学习过程中对同一问题会有不同的理解和方法,通过讨论、交流,可以得到解决问题的很多方法,达到信息共享。一题多解、一题多证的一些方法很多都来自学生的解题方法。教师也可以将大家的做法在课堂上展示,供同学们借鉴。
对话与交流表现在课内学习生动活泼,课外积极主动,上课时学生不再是被动接受教师的各项安排,而是积极参与教学活动,主动学习和交流成为具体的教学行为。
另外,教学时还要努力做到：①凡是学生自已能够探索得出的,教师决不代替。②凡是学生能够独立发现的,教师决不暗示。③凡是学生难于理解或不易接受的,可以适当创设机会,调动学生多种感官参与学习活动,去主动建构知识。④凡是学生独立学习有困难的,可以通过小组合作互相帮助学。真正让学生动手实践、自主探究、合作交流,经历从无疑→生疑、从生疑→质疑、从质疑→释疑的广场。教师在教学中要留有余地,给学生适当的思考时间,给学生提出问题的机会,为学生主动实践智慧创造良好的提问氛围,逐步培养学生敢想敢问的良好习惯。
四、反思升华：为数学课堂生成智慧提质
1、在反思的探究中自觉内化智慧
首先，反思题意,查漏补缺,自觉内化智慧。审题是解题的基础,需要认真阅读,仔细推敲,完全明确问题的文字陈述和符号的含义,准确把握问题的条件和结论,必要时还要适当画出图表,列举、提炼出问题的关键,形成题目脉络,纲举目张。反思题意能弥补审题的不足,有时需要再审视“题眼”,防止误解,因为题中一字之差会导致结论谬之千里。对于貌似熟悉的问题更应警惕,因为大部分时候会熟题新编,如果不假思索,跟着感觉走就会“熟能生错”了,对题目的条件和结论需要再回首,防止条件误用、漏用,也防止答非所问。
其次，反思错误,慎密思考,自觉内化智慧。解题后反思错误是优良的学习习惯。一般来说,反思错误,关键是要用批判性的思维来反思解题过程。比如：隐含条件是否存在,如果存在,是否得到挖掘；转化是否等价；运算是否正确；对各种情况考虑得是否周密；公式、法则或性质是否正确使用,还是机械套用；是否存在概念性的错误；在换元或消元的过程中是否注意到范围问题；是否有逻辑方面(如以偏盖全)的错误；是否进行了必要的数学检验；是否已经关注了特殊或极端的情况等等。只有发现了错误才能纠正错误,并建议学生建立一个“错题集”,把典型或顽固性的错误记下来,适时翻阅,经常提醒或鞭策自己,争取少犯甚至不犯一些低级错误。
再次，反思方法,优化解题,自觉内化智慧。对已经解决的问题进行方法的再思考,是提高解题效益的重要途径之一。首先,方法的再思考可以省去重新熟悉一个新题的时间,在已经熟悉的背景下,转换思维角度,运用新方法、新手段,开辟新途径。其次,重新思考解题方法,能提高思维的层次,站在一个新的高度上重新审视这个问题,容易产生巧思妙解。第三,新方法的产生会有“众里寻他千百度,蓦然回首,那人还在灯火阑珊处”的美妙感觉,能够激励学生学习的信心,激发学习者进一步战胜数学困难的热情。还有,在方法的再思考的过程中,能够进行多角度探索,不仅串联知识,而且巩固方法,尽管有时没有获得新颖的方法,同样也有不匪的收益。
2、在总结的探究中自觉内化智慧
新课程改革对传统的学习方法及学习方式提出了新的要求,学习数学仅有一腔热情远远不够,还需要不断地改进学习方式和学习方法,学会总结。一定程度上可以说学习数学的过程就是不断反思和总结的过程。“积极反思、系统小结,使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化,在解题中应用自如、改进过程,寻找解题方法上的创新”,是高效学习数学的重要价值指向。
将零碎的、分布在各章节中的某些共性的知识归纳总结在一起,使之成为高中数学中的一个个子系统,这样做耗时不多,经过长期积累,久而久之,有助于提高学生的归纳与创新能力。比如,分段函数问题,课本上没有专门的定义,也没有专门的章节研究,它是通过若干个分散在课本中不同地方例、习题的形式给出的,那么,我们能否作为一个专题对它进行归纳总结？至少我们可以从求分段函数的定义域、值域、反函数、图象及极值等全方位的进行归纳总结,从而使之成为一个完整的子系统,这样,涉及分段函数问题,都会“万变不离其宗”了。
有人说：“知识,只是能让人看到一块石头就是一块石头,一粒沙子就是一粒沙子；智慧,却能让人从一块石头里看到风景,从一粒沙子里发现灵魂。”理想中的数学课堂应该是充满生命活力的学习乐园,是师生生命中精彩的篇章,是演绎生命华丽乐章的地方,是师生的智慧之旅。数学教师只有用智慧的心灵才能点燃学生智慧的头脑。教师之“魅”在于用一个智慧的生命去照亮许多的智慧生命,用一个智慧的心灵去唤醒许多智慧的心灵。我们和学生一起在思想上趋近智慧,在行动上实践智慧,不断地生成智慧。
（注：本文系江苏省教育科学“十一五”规划课题“基于智慧生成的普通高中课堂有效性学习研究”成果之一，发表于《数学教学研究》2008年第11期。课题承担单位：兴仁中学。）
